簡說：非線性及其有限元分析
世界是非線性的。但是，人類對它的認(rèn)識卻是從簡單的線性開始的。
早在公元前500年左右，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派就發(fā)現(xiàn)了自然數(shù)是按照均勻的線性關(guān)系增加的。
到了18世紀(jì)，法國大數(shù)學(xué)家拉普拉斯首先認(rèn)識到，自然界也許不是一個簡單的線性世界。他曾說，如果世界是線性的，則一旦初始條件確定，則世界就按簡單、均勻的規(guī)則發(fā)展，那么，這個世界也未免太簡單、太單調(diào)了。
到了19世紀(jì)，隨著力學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)家們首次發(fā)現(xiàn)了非線性的微分方程，這類方程與通常的線性的微分方程相比，方程中多了一個或幾個非線性的項，正是非線性項的存在，使方程由簡單的線性變成了復(fù)雜的非線性。當(dāng)時，這類方程較多地出現(xiàn)在空氣動力學(xué)方程與流體力學(xué)方程之中。而法國數(shù)學(xué)家龐加萊則是最早研究此類方程的人，由此，他得出結(jié)論：自然界從廣義上講是由非線性構(gòu)成的，線性只是一個特例。
公認(rèn)的對現(xiàn)代非線性理論做出杰出貢獻(xiàn)的是荷蘭的一位氣象學(xué)家，叫洛倫茲，正是他開啟了人類認(rèn)識非線性世界的大門。在非線性世界中，結(jié)果對初始條件有著很大的依賴性，只要初始條件有一點微小的變化，隨著時間的推移，結(jié)果會越來越發(fā)生質(zhì)的變化，洛倫茲將非線性世界的這一特征稱為“混沌效應(yīng)”。
因此，線性只是我們對復(fù)雜物理現(xiàn)象的簡化，非線性才是客觀世界的常態(tài)。
將非線性狀態(tài)抽象分類出來主要是三類:
? 材料非線性
? 幾何非線性
? 邊界非線性
材料非線性
材料非線性是指材料屬性會隨某些變量變化時，顯示出非線性特征。所有的工程材料本質(zhì)上都是非線性的，因為無法找到單一的本構(gòu)關(guān)系滿足不同的條件，比如加載、溫度和應(yīng)變率。
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材料非線性的簡單分類：
1、非線性彈性
2、超彈性
3、理想彈-塑性
4、彈性-時間無關(guān)塑性
5、時間相關(guān)塑性（蠕變）
6、應(yīng)變率相關(guān)彈-塑性
7、溫度相關(guān)的彈性和塑性
幾何非線性
幾何非線性可能與以下幾種情況有關(guān)：a、大應(yīng)變；b、大轉(zhuǎn)角；c、大變形
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這個并不是由于材料特性發(fā)生了變化，而是由于幾何形狀變化，造成剛度矩陣需要跟隨幾何形狀變化，從而影響最終結(jié)果。當(dāng)形變非常大，造成應(yīng)變非常高的時候，也有可能同時存在材料高度非線性。
邊界非線性
最典型的邊界非線性就是力學(xué)分析中的接觸。包括摩擦，碰撞等等。如兩個或更多個部件彼此接觸或相互干擾，則組件的這種剛度也會變化并改變。
在實際工程中，產(chǎn)品結(jié)構(gòu)設(shè)計常常會被優(yōu)化，讓荷載接近材料強(qiáng)度，以充分利用材料性能，在這種情況下，為了準(zhǔn)確地預(yù)測結(jié)構(gòu)強(qiáng)度，有必要進(jìn)行非線性有限元分析。下表簡要列出了線性和非線性有限元分析之間的主要不同。
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序號 |
特征 |
線性問題 |
非線性問題 |
| 1 |
載荷-位移關(guān)系 |
位移與荷載程線性關(guān)系，剛度是常數(shù)。位移引起的幾何變形認(rèn)為是小變形并且可忽略。初始狀態(tài)或微變形的狀態(tài)作為參考狀態(tài)。 |
非線性問題的剛度是隨載荷變化的函數(shù)。唯一可以很大并且?guī)缀巫冃尾豢珊雎?。因此剛度是荷載的函數(shù)。 |
| 2 |
應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系 |
在比例極限/彈性極限之前是線性的，楊氏模量等屬性可以很容易得到。 |
是關(guān)于應(yīng)力-應(yīng)變或時間的非線性函數(shù)，獲取這個關(guān)系比較困難，需要大量的材料試驗。注意真實應(yīng)力和工程應(yīng)力之前的差別。 |
| 3 |
比例縮放 |
可以，如果1N的力引起了x個單位位移，那么10N的力將產(chǎn)生10x的位移。 |
不可以 |
| 4 |
線性疊加 |
可以?？梢赃M(jìn)行工況的線性組合 |
不可以 |
| 5 |
可逆性 |
在卸掉外荷載后結(jié)構(gòu)的行為是完全可逆的。這也意味著荷載的順序并不重要并且最終狀態(tài)不會受到加載歷史的影響。 |
卸載后的狀態(tài)與初始狀態(tài)不同。因此不能進(jìn)行工況疊加。加載歷史非常重要 |
| 6 |
求解序列 |
荷載一次性加載，沒有迭代步 |
荷載被分解到多個小的增量步進(jìn)行迭代加載以保證每個荷載增量步都滿足平衡條件 |
| 7 |
計算時間 |
短 |
長 |
| 8 |
用戶與軟件的交互 |
要求很少 |
需要經(jīng)常查看軟件狀態(tài)，因此可能無法收斂。 |
進(jìn)行準(zhǔn)確、高效的非線性有限元分析，是專業(yè)CAE仿真工程師的責(zé)任與義務(wù)。元王CAE應(yīng)用解決方案專家依托深厚的CAE技術(shù)背景和十二年的工程仿真應(yīng)用經(jīng)驗，可為企業(yè)提供高水平的CAE工程咨詢服務(wù)，包括力學(xué)分析、CFD分析、熱分析、電磁分析及優(yōu)化分析等服務(wù)，已成功服務(wù)航天航空、汽車、電子、機(jī)械、新能源、醫(yī)療等行業(yè)1000多家企業(yè)，得到客戶的高度認(rèn)可。選擇元王，為您企業(yè)的產(chǎn)品創(chuàng)新，創(chuàng)造無限可能。
