網(wǎng)格畫(huà)得越細，有限元分析結果就越精確？

有限元分析是一種廣泛應用的數值方法，用于求解各種工程和科學(xué)問(wèn)題中的微分方程。在有限元分析中，網(wǎng)格的劃分是一個(gè)關(guān)鍵步驟，因為它直接影響到計算結果的精度和計算效率。那么，是否網(wǎng)格畫(huà)得越細，分析結果就越精確呢？

我們要明確一點(diǎn)，網(wǎng)格的細化確實(shí)可以在一定程度上提高分析的精度。當網(wǎng)格足夠細時(shí)，它能夠更好地捕捉到問(wèn)題域中的細節和變化，從而得到更準確的解。這是因為在有限元分析中，我們實(shí)際上是將連續的問(wèn)題域離散化，用一系列的單元來(lái)近似表示。如果網(wǎng)格太粗，那么這些單元可能無(wú)法準確地描述問(wèn)題域中的復雜變化，從而導致計算結果的誤差。

然而，網(wǎng)格的細化并不是無(wú)限制的。當網(wǎng)格細化到一定程度后，繼續增加網(wǎng)格數量可能不會(huì )顯著(zhù)提高分析的精度，甚至可能導致計算效率的降低。這是因為有限元分析中的誤差來(lái)源不僅僅是網(wǎng)格的離散化，還包括其他因素，如舍入誤差、迭代誤差等。此外，當網(wǎng)格數量過(guò)多時(shí)，計算量會(huì )顯著(zhù)增加，導致計算時(shí)間變長(cháng)，甚至可能超出計算機的內存限制。

很多時(shí)候，提高單元數量對于計算精度的提高，遠遠比不過(guò)選用更好更合理的單元類(lèi)型。對于不同的求算對象，所需要的單元數量也不相同。一般來(lái)說(shuō)，求算應力需要比求算位移更多的單元，而求算剪應力需要比正應力更多的單元。

舉一個(gè)常見(jiàn)小例子，平面應力問(wèn)題，計算一根懸臂梁的變形和應力：

懸臂梁的寬度為1，彈性模量30000，泊松比0.3，自由端承受豎向荷載100。求解A點(diǎn)的豎向位移、B點(diǎn)的正應力、C點(diǎn)的剪應力。

分別選用不同類(lèi)型的四種單元計算，包括三節點(diǎn)三角形 CSTG、六節點(diǎn)三角形 LST、四節點(diǎn)四邊形 IPLQ、八節點(diǎn)四邊形 IPQQ。

首先計算位移和應力的理論解：

A 點(diǎn)的豎向位移為0.895，B 點(diǎn)的正應力為90，C 點(diǎn)的剪應力為7.5。

然后分別用不同數量的四種單元進(jìn)行比較計算，所用軟件為 GT STRUDL，單元名稱(chēng)按照 GT STRUDL 的命名，計算結果是這樣的：

隨著(zhù)單元數量的增多，位移、正應力和剪應力結果都趨近于理論解。

對于不同的單元類(lèi)型，趨近理論解的速度完全不同。同樣是32個(gè)單元，CSTG 的位移結果是0.5072，正應力是33.11，與真實(shí)解 0.895 和 90 相差甚遠。而32個(gè)單元的 LST 結果為0.8978和88.68，已經(jīng)很接近于理論解 0.895 和 90。

同樣是64個(gè)單元，IPLQ 的結果為 0.8715 、89.52，而 IPQQ 的結果則達到了 0.8999、90.01，可以說(shuō)正應力結果已經(jīng)非常非常接近理論解。

如果比較一下四邊形單元的結果和三角形單元的結果，差異更加明顯。對于位移結果來(lái)說(shuō)，2000個(gè)CSTG單元的精度也比不上4個(gè)IPQQ單元的精度。

如果橫坐標為單元數量，縱坐標為計算結果，繪制一張收斂圖像的話(huà)，對于位移來(lái)說(shuō)是這樣的：

對于這四種單元類(lèi)型，要想達到類(lèi)似的可以接受的精度水平，需要的單元數量完全不同。

根據上面的分析，想要得到精度可以接受的計算結果，CSTG需要2000多個(gè)單元，而IPQQ僅需要64個(gè)。

那么結論就是，提高單元數量的確會(huì )提高計算精度，但前提是單元類(lèi)型合理高效。對于提高精度來(lái)說(shuō)，更合理的方法是選用更好的單元，而不是盲目的提高單元數量。

除了網(wǎng)格的劃分外，還有其他一些因素也會(huì )影響有限元分析的精度。例如，所選用的有限元模型、邊界條件的處理方式、材料參數的準確性等都會(huì )對計算結果產(chǎn)生影響。因此，在進(jìn)行有限元分析時(shí)，需要綜合考慮這些因素，以確保得到準確可靠的結果。

所以在選擇有限元分析公司的時(shí)候，也需要注意甄別，找有經(jīng)驗、有技術(shù)背景的公司，才能在有限元分析結果上更精準，以避免時(shí)間的浪費及其他問(wèn)題的發(fā)生。